Question

1．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：a_n+a_n+1-2n-3=0（n∈N^*），a₁=1．
（1）求a_n；
（2）求{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可得，a_n-n+a_n+1-n-1=2，可設(shè)b_n=a_n-n，則b_n+b_n+1=2，討論n為奇數(shù)和偶數(shù)，即可得到所求通項(xiàng)；
（2）討論n為奇數(shù)和偶數(shù)，運(yùn)用分組求和，并用等差數(shù)列的求和公式，奇數(shù)即可得到所求．

解答 解：a_n+a_n+1-2n-3=0，即為
a_n-n+a_n+1-n-1=2，
可設(shè)b_n=a_n-n，
則b_n+b_n+1=2，
由b₁=a₁-1=0，
可得n為奇數(shù)時(shí)，b_n=0，
n為偶數(shù)時(shí)，b_n=2，
即為a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n為奇數(shù)}\\{n+2，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
前n項(xiàng)和S_n=（1+3+5+…+n-1）+（4+6+8+…+n+2）
=$\frac{1}{2}$n+$\frac{1}{2}$•$\frac{n}{2}$（$\frac{n}{2}$-1）•2+$\frac{n}{2}$•4+$\frac{1}{2}$•$\frac{n}{2}$（$\frac{n}{2}$-1）•2
=$\frac{1}{2}$（n²+3n）；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
前n項(xiàng)和S_n=S_n-1+a_n=$\frac{1}{2}$[（n-1）²+3（n-1）]+n
=$\frac{1}{2}$（n²+3n-2）．
綜上可得S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（{n}^{2}+3n），n為偶數(shù)}\\{\frac{1}{2}（{n}^{2}+3n-2），n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．