Question

13．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，1），點(diǎn)B（-7，-2）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為C．
（Ⅰ）求以A、C為直徑的圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l與圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為D，|AD|=8，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出B的對(duì)稱點(diǎn)C，從而求出AC的中點(diǎn)坐標(biāo)，求出元旦圓心和半徑，求出圓的方程即可；
（Ⅱ）分別討論直線斜率存在和不存在時(shí)的情況，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求出直線l的方程即可．

解答 解：（Ⅰ）點(diǎn)B（-7，-2）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為C（-2，-7），
∵AC為直徑，AC中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，-3），
∴圓E的半徑為|AE|=5，
∴圓E的方程為（x-1）²+（y+3）²=25．…（5分）
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，易求|AD|=8，此時(shí)直線l的方程為x=4，…（7分）
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y-1=k（x-4），
∴圓心E到直線l的距離d=$\frac{|4-3k|}{\sqrt{k2+1}}$，
∵圓E的半徑為5，|AD|=8，所以d=3，
∴$\frac{|4-3k|}{\sqrt{k2+1}}$=3，解得k=$\frac{7}{24}$，
∴直線l的方程為7x-24y-4=0．
綜上所述，直線l的方程為x=4或7x-24y-4=0．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線方程問(wèn)題，考查求圓的方程，是一道中檔題．