Question

設(shè)A、B是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，M是雙曲線上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線與直線MA交于點(diǎn)P．若直線OP與BM的斜率之積為4，則雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)M（m，n），代入雙曲線方程，再由三點(diǎn)共線，斜率相等，可得P的坐標(biāo)，再由正弦的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到2a²=b²，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式計(jì)算即可得到．

解答： 解：設(shè)M（m，n），則

m2

a2

-

n2

b2

=1，即有

n2

m2-a2

=

b2

a2

，①
設(shè)P（a，t），又A（-a，0），B（a，0），
由M，P，A三點(diǎn)共線，可得

n

m+a

=

t

2a

，
解得t=

2an

m+a

，
即有OP的斜率為

2n

m+a

，
BM的斜率為

n

m-a

，
若直線OP與BM的斜率之積為4，
則

2n2

m2-a2

=4，由①可得b=

2

a，
即有c=

a2+b2

=

3

a，
則e=

c

a

=

3

．
故答案為：

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，運(yùn)用點(diǎn)在雙曲線上和直線的斜率公式是解題的關(guān)鍵．