Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足：
①在x=1時有極值；
②圖象過點（0，3），且在該點處的切線與直線2x+y=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）=f（x²）在[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，則f′（x）=2ax+b，根據(jù)題意列出方程組，求出a、b和c的值即可求出f（x）的解析式；
（2）首先求出函數(shù)g（x）的解析式，g′（x）=4x³-4x=4x（x-1）（x+1）；然后列表，分析出函數(shù)g（x）=f（x²）在[-2，2]的單調(diào)性，進(jìn)而求出最大值和最小值即可．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，設(shè)f（x）=ax²+bx+c，
則f′（x）=2ax+b．
則

f′(1)=0 f(0)=3 f′(2)=-2

，
即

2a+b=0 c=3 4a+b=-2

，
解得a=1，b=-2，c=3，
所以f（x）=x²-2x+3；
（2）g（x）=f（x²）=x⁴-2x²+3，
g′（x）=4x³-4x=4x（x-1）（x+1），

x	[-2，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，2]
f′（x）	-	0	+	0	-	0	+
f（x）	↘		↗		↘		↗

根據(jù)圖表，可得當(dāng)x=-1或1時，函數(shù)g（x）的最小值為：g（1）=g（-1）=1-2+3=2，
當(dāng)x=-2或2時，函數(shù)g（x）的最大值為：g（2）=g（-2）=16-8+3=11，
所以函數(shù)g（x）=f（x²）在[-2，2]上的最大值是11，最小值是2．

點評：本題主要考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的運用，以及函數(shù)極值條件和導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．