設(shè)△ABC外心為O，重心為G．取點(diǎn)H，使．
求證：（1）H是△ABC的垂心；
（2）O，G，H三點(diǎn)共線，且OG：GH=1：2．
【答案】分析：（1）根據(jù)△ABC外心為O滿足，我們根據(jù)已知中，易判斷出=0，即AH⊥BC，同理證出BH⊥AC，CH⊥AB后，即可得到H是△ABC的垂心；
（2）根據(jù)△ABC重心為G滿足=，結(jié)合已知中，我們易判斷出=3，根據(jù)數(shù)乘向量的幾何意義，即可得到O，G，H三點(diǎn)共線，且OG：GH=1：2
解答：證明：（1）∵△ABC外心為O，
∴
又∵
∴
則=•==0
即AH⊥BC
同理BH⊥AC，CH⊥AB
即H是△ABC的垂心；
（2）∵G為△ABC的重心
∴=3=3+=
即=3
即O，G，H三點(diǎn)共線，且OH=3OG
即O，G，H三點(diǎn)共線，且OG：GH=1：2
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角形的五心，其中熟練掌握向量五心的向量表達(dá)式形式，如（1）中△ABC外心為O滿足，（2）中△ABC重心為G滿足=，是解答此類問題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)△ABC的外心為O，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形，第四個(gè)頂點(diǎn)為D，再以O(shè)C、OD為鄰邊作平行四邊形，它的第四個(gè)頂點(diǎn)為H．
（1）若
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，用
a
、
b
、
c
表示
OH
；
（2）求證：AH⊥BC；
（3）設(shè)△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，外接圓半徑為R，用R表示
|OH|
．（外心是三角形外接圓的圓心）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)△ABC的外心為O，重心為G，取點(diǎn)H，使
OH
=
OA
+
OB
+
OC
．求證：
（Ⅰ）點(diǎn)H為△ABC的垂心；
（Ⅱ）△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一條直線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)△ABC外心為O，重心為G．取點(diǎn)H，使
OA
+
OB
+
OC
=
OH
．
求證：（1）H是△ABC的垂心；
（2）O，G，H三點(diǎn)共線，且OG：GH=1：2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)△ABC的外心為O（三角形外接圓的圓心），其外接圓半徑為1，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形，第四個(gè)頂點(diǎn)為D，再以O(shè)C，OD為鄰邊作平行四邊形，它的第四個(gè)頂點(diǎn)為H．若
OA
=a，
OB
=b，
OC
=c．
（1）用a，b，c表示
OH
；
（2）求證：點(diǎn)H為△ABC的垂心；
（3）設(shè)△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，求|
OH
|．

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