設(shè)△ABC外心為O，重心為G．取點H，使
OA
+
OB
+
OC
=
OH
．
求證：（1）H是△ABC的垂心；
（2）O，G，H三點共線，且OG：GH=1：2．
分析：（1）根據(jù)△ABC外心為O滿足|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|，我們根據(jù)已知中
OA
+
OB
+
OC
=
OH
，易判斷出
AH
•
BC
=0，即AH⊥BC，同理證出BH⊥AC，CH⊥AB后，即可得到H是△ABC的垂心；
（2）根據(jù)△ABC重心為G滿足
GA
+
GB
+
GC
=
0
，結(jié)合已知中
OA
+
OB
+
OC
=
OH
，我們易判斷出
OH
=3
OG
，根據(jù)數(shù)乘向量的幾何意義，即可得到O，G，H三點共線，且OG：GH=1：2
解答：證明：（1）∵△ABC外心為O，
∴|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|
又∵
OA
+
OB
+
OC
=
OH

∴
OA
-
OH
=
AH
=-(
OB
+
OC
)
則
AH
•
BC
=-(
OB
+
OC
)•(
OC
-
OB
)=
OB
2-
OC
2=0
即AH⊥BC
同理BH⊥AC，CH⊥AB
即H是△ABC的垂心；
（2）∵G為△ABC的重心
∴
GA
+
GB
+
GC
=(
GO
+
OA
)+(
GO
+
OB
)+(
GO
+
OC
)=3
GO
+
OA
+
OB
+
OC
=3
GO
+
OH
=
0

即
OH
=3
OG

即O，G，H三點共線，且OH=3OG
即O，G，H三點共線，且OG：GH=1：2
點評：本題考查的知識點是三角形的五心，其中熟練掌握向量五心的向量表達式形式，如（1）中△ABC外心為O滿足|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|，（2）中△ABC重心為G滿足
GA
+
GB
+
GC
=
0
，是解答此類問題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)△ABC的外心為O，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形，第四個頂點為D，再以O(shè)C、OD為鄰邊作平行四邊形，它的第四個頂點為H．
（1）若
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，用
a
、
b
、
c
表示
OH
；
（2）求證：AH⊥BC；
（3）設(shè)△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，外接圓半徑為R，用R表示
|OH|
．（外心是三角形外接圓的圓心）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)△ABC的外心為O，重心為G，取點H，使
OH
=
OA
+
OB
+
OC
．求證：
（Ⅰ）點H為△ABC的垂心；
（Ⅱ）△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一條直線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)△ABC的外心為O（三角形外接圓的圓心），其外接圓半徑為1，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形，第四個頂點為D，再以O(shè)C，OD為鄰邊作平行四邊形，它的第四個頂點為H．若
OA
=a，
OB
=b，
OC
=c．
（1）用a，b，c表示
OH
；
（2）求證：點H為△ABC的垂心；
（3）設(shè)△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，求|
OH
|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年北京市師大附中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)△ABC外心為O，重心為G．取點H，使．
求證：（1）H是△ABC的垂心；
（2）O，G，H三點共線，且OG：GH=1：2．

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同步練習(xí)冊答案