Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足x²+y²=3 （y≥0），試求b=2x+y的范圍

[-2

3

，

15

]

．

Answer 1

分析：把b=2x+y變?yōu)閥=-2x+b，即要求直線y=-2x+b與半圓x²+y²=3有交點(diǎn)時(shí)b的范圍，根據(jù)題意畫出圖形，求出直線與半圓相切時(shí)b的值，以及直線過（-

3

，0）時(shí)b的值，由圖形即可得到明滿足題意的b的取值范圍．

解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

當(dāng)直線y=-2x+b與半圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，
即

|b|

5

=

3

，解得b=

15

或b=-

15

（舍去），
當(dāng)直線過（-

3

，0）時(shí)，把此點(diǎn)代入直線方程求得b=-2

3

，
則滿足題意的b=2x+y的范圍為[-2

3

，

15

]．
故答案為：[-2

3

，

15

]

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線的距離公式，待定系數(shù)法求直線的解析式，利用了數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想，若直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．