Question

17．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的經(jīng)過中心的弦稱為橢圓的一條直徑，平行于該直徑的所有弦的中點的軌跡為一條直線段，稱為該直徑的共軛直徑．已知橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
（Ⅰ）若一條直徑的斜率為$\frac{1}{2}$，求該直徑的共軛直徑所在的直線方程；
（Ⅱ）若橢圓的兩條共軛直徑為AB和CD，它們的斜率分別為k₁、k₂，證明：四邊形ACBD的面積為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用點差法，求該直徑的共軛直徑所在的直線方程；
（Ⅱ）確定A、B的坐標，C、D的坐標，求出點C到直線AB的距離，可得四邊形ACBD的面積，即可得出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：設斜率為$\frac{1}{2}$的直徑平行的弦的端點坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），該弦中點為（x，y），
則x₁+x₂=2x，y₁+y₁=2y，
（x₁，y₁）、（x₂，y₂），代入橢圓方程，相減得：k=$\frac{1}{2}$，
所以得：x+2y=0，
故該直徑的共軛直徑所在的直線方程為x+2y=0．…（5分）
（Ⅱ）證明：橢圓的兩條共軛直徑為AB和CD，它們的斜率分別為k₁、k₂．
四邊形ACBD顯然為平行四邊形，設與AB平行的弦的端點坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
則${k_1}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$，${k_2}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}$，故${k_1}{k_2}=\frac{{{y_1}^2-{y_2}^2}}{{{x_1}^2-{x_2}^2}}=-\frac{1}{4}$．
由$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}x\\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$得A、B的坐標分別為$（\frac{4}{{\sqrt{1+4k_1^2}}}，\frac{{4{k_1}}}{{\sqrt{1+4k_1^2}}}）$，$（-\frac{4}{{\sqrt{1+4k_1^2}}}，-\frac{{4{k_1}}}{{\sqrt{1+4k_1^2}}}）$
故|AB|=$\frac{8}{{\sqrt{1+4k_1^2}}}\sqrt{1+k_1^2}$，
同理C、D的坐標分別為$（\frac{4}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}，\frac{{4{k_2}}}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}）$，$（-\frac{4}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}，-\frac{{4{k_2}}}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}）$
所以，點C到直線AB的距離$d=\frac{{|{\frac{{4{k_1}}}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}-\frac{{4{k_2}}}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}}|}}{{\sqrt{1+k_1^2}}}=\frac{{4|{{k_1}-{k_2}}|}}{{\sqrt{1+k_1^2}\sqrt{1+4k_2^2}}}$
設點C到直線AB的距離為d，四邊形ACBD的面積為S，
則S=d|AB|=$\frac{{4|{{k_1}-{k_2}}|}}{{\sqrt{1+k_1^2}\sqrt{1+4k_2^2}}}$×$\frac{8}{{\sqrt{1+4k_1^2}}}\sqrt{1+k_1^2}$=$\frac{{32|{{k_1}-{k_2}}|}}{{\sqrt{1+4k_1^2}\sqrt{1+4k_2^2}}}$
=$32\sqrt{\frac{{k_1^2+k_2^2-2{k_1}{k_2}}}{{1+4（k_1^2+k_2^2）+16{k^2}_1{k_2}^2}}}=16$，為定值．…（13分）

點評 本題考查新定義，考查橢圓方程，考查四邊形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．