Question

5．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁=$\frac{1}{2}$BC，∠ABC=90°，N、F分別是A₁C₁、B₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：CF⊥平面NFB；
（Ⅱ）求二面角C-BN-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)及AB⊥BC，判定NF與平面BC₁的垂直關系，再由線面垂直的性質(zhì)判斷線線垂直，然后由線線垂直⇒線面垂直；
（Ⅱ）連接B₁G交BF于點O，過O作BN的垂線，垂足為M，∠B₁MG的余弦值為二面角C-BN-B₁的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
B₁B⊥AB，BC⊥AB，又B₁B∩BC=B，
∴AB⊥平面BB₁C₁C．
又N、F分別為A₁ C₁、B₁ C₁的中點
∴AB∥A₁B₁∥NF．
∴NF⊥平面BB₁C₁C．
∵FC?平面BB₁C₁C，∴NF⊥FC．
取BC中點G，有BG=GF=GC，∴BF⊥FC，
又NF∩FB=F，
∴FC⊥平面NFB；
（Ⅱ）解：連接B₁G交BF于點O，過O作BN的垂線，垂足為M，
∵FC⊥平面NFB，F(xiàn)C∥B₁G，
∴B₁G⊥平面NFB，
∵BN?平面NFB，
∴B₁G⊥BN
∵MO⊥BN，
∴BN⊥平面B₁GM，
∴B₁M⊥BN，GM⊥BN，
∴∠B₁MG的余弦值為二面角C-BN-B₁的余弦值．
∵GB₁⊥MO，BO=OG，
∴B₁N=GM，
∴△B₁MG為等腰三角形，
令AB=a，則B₁G=$\sqrt{2}a$，MO=$\frac{1}{2}•\frac{BF×FN}{BN}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$a，
B₁M=GM=$\sqrt{（\frac{1}{2}{B}_{1}G）^{2}+M{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$a，
∴二面角C-BN-B₁的余弦值=$\frac{{B}_{1}{M}^{2}+M{G}^{2}-{B}_{1}{G}^{2}}{2{B}_{1}M×MG}$=-$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查線面垂直的判定，考查二面角C-BN-B₁的余弦值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．