Question

19．設(shè)函數(shù)y=f（x）（x∈R，且x≠0）對任意的非零實(shí)數(shù)x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．
（1）求證：f（1）=f（-1）=0，且f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）（x≠0）；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）若f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，解不等式f（$\frac{1}{x}$）-f（2x-1）≥0．

Answer 1

分析 （1）賦值x=y=1，x=y=-1，y=$\frac{1}{x}$，即可證明結(jié)論；
（2）令y=-1，可得f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），即可判斷f（x）的奇偶性；
（3）f（$\frac{1}{x}$）-f（2x-1）≥0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）是偶函數(shù)，可得|$\frac{1}{x}$|≥|2x-1|，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：令x=y=1，可得f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0，
令x=y=-1，可得f（1）=f（-1）+f（-1），∴f（-1）=0，
令y=$\frac{1}{x}$，可得f（1）=f（x）+f（$\frac{1}{x}$），∴f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）（x≠0）；
（2）解：令y=-1，可得f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（3）解：∵f（$\frac{1}{x}$）-f（2x-1）≥0，
∴f（$\frac{1}{x}$）≥f（2x-1），
∵f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）是偶函數(shù)
∴|$\frac{1}{x}$|≥|2x-1|，
∴-1≤x（2x-1）≤1，
∴-$\frac{1}{2}$≤x≤1，
∵x≠0，2x-1≠0
∴不等式的解集為{x|-$\frac{1}{2}$≤x≤1且x$≠0，x≠\frac{1}{2}$}．

點(diǎn)評 本題考查賦值法的運(yùn)用，考查函數(shù)的奇偶性，考查解不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．