Question

9．已知向量$\overrightarrow m$=（2cosωx，1），$\overrightarrow n$=（$\sqrt{3}sinωx$-cosωx，a），其中（x∈R，ω＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$的最小正周期為π．
（1）求ω；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）如果f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]上的最小值為$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角公式及兩角差的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式，即可得到所求；
（2）由正弦函數(shù)的增區(qū)間，解不等式即可得到所求；
（3）由x的范圍，可得2x-$\frac{π}{6}$的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到最小值，進(jìn)而得到a的值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow m$=（2cosωx，1），$\overrightarrow n$=（$\sqrt{3}sinωx$-cosωx，a），
f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=2$\sqrt{3}$sinωxcosωx-2cos²ωx+a
=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx+a-1
=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+a-1，
T=$\frac{2π}{2ω}$=π，則ω=1；
（2）f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+a-1，
由2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x-$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
可得kπ-$\frac{π}{6}$＜x＜kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
即有函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$），k∈Z；
（3）由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]，
2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]，則sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
即有f（x）的最小值為2×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）+a-1=$\sqrt{3}$，
解得a=1+2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查二倍角公式和兩角差的正弦公式的運用，同時考查周期公式和正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域，屬于中檔題．