Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|
（1）解不等式f（x）≥3
（2）若不等式|a+b|+|a-b|≥af（x）（a≠0，a，b∈R）恒成立，求實(shí)數(shù)x的范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知條件根據(jù)x≤1，1＜x＜2，x≥2三種情況分類(lèi)討論，能求出不等式f（x）≥3的解集．
（2）由不等式|a+b|+|a-b|≥af（x），得$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$≥f（x），從而得到2≥|x-1|+|x-2|，由此利用分類(lèi)討論思想能求出實(shí)數(shù)x的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）=1-x+2-x=3-2x，
∴由f（x）≥3得3-2x≥3，解得x≤0，
即此時(shí)f（x）≥3的解為x≤0；
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f（x）=x-1+2-x=1，∴f（x）≥3不成立；
當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=x-1+x-2=2x-3，
∴由f（x）≥3得2x-3≥3，解得x≥3，即此時(shí)不等式f（x）≥3的解為x≥3，
∴綜上不等式f（x）≥3的解集為{x|x≤0或x≥3}．
（2）由不等式|a+b|+|a-b|≥af（x），得$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$≥f（x），
又∵$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$≥$\frac{|a+b+a-b|}{|a|}$=2，
∴2≥f（x），即2≥|x-1|+|x-2|，
當(dāng)x≥2時(shí)，2≥x-1+x-2，解得2≤x≤$\frac{5}{2}$；
當(dāng)1≤x＜2時(shí)，2≥x-1+2-x，即2≥1，成立；
當(dāng)x＜1時(shí)，2≥1-x+2-x，解得x$≥\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}≤x＜1$．
∴實(shí)數(shù)x的范圍是[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解集和實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．