Question

9．如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，各棱長都是2，M是AC中點．
（1）求證：AB₁∥平面MBC₁；
（2）求二面角M-BC₁-C的正弦；
（3）求點A到平面MBC₁的距離．

Answer 1

分析 （1）連接CB₁，設CB₁∩BC₁=O．連接OM．由四邊形BB₁C₁C為矩形，可得CO=OB₁，又CM=MA，利用三角形中位線定理可得MO∥AB₁．利用線面平行的判定定理即可得出．
（2）作MD⊥BC，垂足為D，則MD⊥平面BC₁，作DE⊥BC₁，垂足為E，連接ME，則ME⊥BC₁，∠MED是二面角M-BC₁-C的平面角，即可得出結(jié)論；
（3）利用等體積方法，求點A到平面MBC₁的距離．

解答 證明：（1）如圖所示，連接CB₁，設CB₁∩BC₁=O．連接OM．
由四邊形BB₁C₁C為矩形，
∴CO=OB₁，
又CM=MA，
∴MO∥AB₁．
∵AB₁?平面MBC₁，MO?平面MBC₁．
∴AB₁∥平面MBC₁．
解：（2）作MD⊥BC，垂足為D，則MD⊥平面BC₁，
作DE⊥BC₁，垂足為E，連接ME，則ME⊥BC₁，
∴∠MED是二面角M-BC₁-C的平面角，
∵MD=ED=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠MED=45°，
∴二面角M-BC₁-C的正弦為$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）點A到平面MBC₁的距離=點C到平面MBC₁的距離．
△MBC₁中，BC₁=2$\sqrt{2}$，BM=$\sqrt{3}$，MC₁=$\sqrt{5}$，
∴MC₁⊥MB，
∴${S}_{△MB{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．
設點C到平面MBC₁的距離為h．則由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}h$，
∴h=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴點A到平面MBC₁的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查直三棱柱的性質(zhì)、線面平行的判定定理及其性質(zhì)定理、三角形中位線定理、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．