Question

6．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為a_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，求a_n的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 通過(guò)a_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$可知S_n=1•$\frac{1}{{2}^{0}}$+3•$\frac{1}{2}$+5•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$、$\frac{1}{2}$S_n=1•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+5•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
∴S_n=1•$\frac{1}{{2}^{0}}$+3•$\frac{1}{2}$+5•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$S_n=1•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+5•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$S_n=1+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=1+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，
∴S_n=6-$\frac{2n+3}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．