Question

16．對(duì)于函數(shù)y=f（x），若存在x₀∈D使得f（-x₀）+f（x₀）=0則稱函數(shù)f（x）為“次奇函數(shù)”且x₀為該函數(shù)的一個(gè)“次奇點(diǎn)”，給出下列命題：
①奇函數(shù)必為“次奇函數(shù)”；
②存在某個(gè)偶函數(shù)，它是“次奇函數(shù)”；
③若函數(shù)$f（x）=sin（x+\frac{π}{5}）$為“次奇函數(shù)”，則該函數(shù)的所有“次奇點(diǎn)”為$\frac{kπ}{2}（k∈Z）$；
④若函數(shù)$f（x）=lg\frac{a+x}{1-x}$為“次奇函數(shù)”，則a=±1
⑤若函數(shù)f（x）=4^x-m•2^x+1為“次奇函數(shù)”，則$m≥\frac{1}{2}$．其中的正確命題是①②④⑤（寫(xiě)出你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 根據(jù)已知中若存在x₀∈D使得f（-x₀）+f（x₀）=0則稱函數(shù)f（x）為“次奇函數(shù)”且x₀為該函數(shù)的一個(gè)“次奇點(diǎn)”，逐一分析五個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：①奇函數(shù)f（x）中，當(dāng)x₀∈D時(shí)，f（-x₀）+f（x₀）=0恒成立，故必為“次奇函數(shù)”，故①正確；
②存偶函數(shù)f（x）=|x|-1，易得當(dāng)x₀=±1時(shí)，使得f（-x₀）+f（x₀）=0，它是“次奇函數(shù)”，故②正確；
③若函數(shù)$f（x）=sin（x+\frac{π}{5}）$為“次奇函數(shù)”，則$sin（-x+\frac{π}{5}）+sin（x+\frac{π}{5}）$=0有解：
則$sin（x-\frac{π}{5}）=sin（x+\frac{π}{5}）$有解，則由$（x-\frac{π}{5}）-（x+\frac{π}{5}）$=-$\frac{2π}{5}$得：$（x-\frac{π}{5}）+（x+\frac{π}{5}）=2kπ+π，k∈Z$，
解得：x=kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z），即則該函數(shù)的所有“次奇點(diǎn)”為kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z），故③錯(cuò)誤；
④若函數(shù)$f（x）=lg\frac{a+x}{1-x}$為“次奇函數(shù)”，則$lg\frac{a-x}{1+x}+lg\frac{a+x}{1-x}$=0有解：
則$\frac{{a}^{2}-{x}^{2}}{1-{x}^{2}}=1$，則a=±1，故④正確；
⑤若函數(shù)f（x）=4^x-m•2^x+1為“次奇函數(shù)”，則4^-x-m•2^-x+1+4^x-m•2^x+1=0有解：
令t=2^-x+2^x，（t≥2），則t²-2mt-2=0有不小于2的根，
即m+$\sqrt{{m}^{2}+2}$≥2，解得：則$m≥\frac{1}{2}$，故⑤正確；
故正確的命題的序號(hào)是：①②④⑤，
故答案為：①②④⑤

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，此類題型往往綜合較多的其它知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度中檔．