Question

15．已知集合A={x|ax²+2x+1=0，a∈R}．
（1）若1∈A，求a的值；
（2）若集合A中只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a組成的集合；
（3）若集合A中含有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a組成的集合．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程根的定義，將x=1代入方程，得到關(guān)于a的一次方程，求出a值，最后再回代到原方程中求出原方程的解，即可得出答案；
（2）用描述法表示的集合元素個(gè)數(shù)問題，用到一元方程解的個(gè)數(shù)，用判別式與零的關(guān)系，當(dāng)方程有一個(gè)解時(shí)，判別式等于零；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到不等式，解出即可．

解答 解：（1）∵1是集合A中的一個(gè)元素，
∴1是關(guān)于x的方程ax²+2x+1=0的一個(gè)根，
∴a•1²+2×1+1=0，即a=-3．
方程即為-3x²+2x+1=0，
解這個(gè)方程，得x₁=1，x₂=-$\frac{1}{3}$，
∴集合A={-$\frac{1}{3}$，1}；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，A={-$\frac{1}{2}$}；
當(dāng)a≠0時(shí)，若集合A只有一個(gè)元素，由一元二次方程判別式
△=4-4a=0得a=1．
綜上，當(dāng)a=0或a=1時(shí)，集合A只有一個(gè)元素．
故實(shí)數(shù)a組成的集合為{0，1}；
（3）由題意，集合A有兩個(gè)元素，
即方程ax²+2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
∴a≠0，且△＞0，
即a＜1且a≠0，
∴實(shí)數(shù)a組成的集合為{a|a＜1且a≠0}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查集合的概念和一元二次方程根的判定，解題時(shí)容易漏掉a≠0的情況，當(dāng)方程，不等式，函數(shù)最高次項(xiàng)系數(shù)帶有參數(shù)時(shí)，要根據(jù)情況進(jìn)行討論．