【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn) 點(diǎn)為的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程
(2)過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn),為上任意一點(diǎn),直線交于兩點(diǎn),以為直徑的圓是否過(guò)軸上的定點(diǎn)? 若過(guò)定點(diǎn),求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過(guò)定點(diǎn),說(shuō)明理由。
【答案】(1)(2)以 為直徑的圓過(guò) 軸上的定點(diǎn)
【解析】分析:(1)根據(jù)條件可得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、以直線為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為.(2)假設(shè)以為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn), 設(shè) .由題意可得,,由得.設(shè)直線的方程為,與拋物線方程聯(lián)立消元后得到二次方程,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和上式可得,解得,進(jìn)而可得以 為直徑的圓過(guò) 軸上的定點(diǎn).
詳解:(1)由已知得垂直平分,故
又軸,
則,
所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等,
故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、以直線為準(zhǔn)線的拋物線,
由條件可得軌跡的方程為.
(2)假設(shè)以為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn) .
設(shè) ,
則 ,
直線 的方程為 ,
令得 即.
同理可得.
由已知得 恒成立,即,
即.
設(shè)直線的方程為 ,
由消去整理得,
所以,
于是,
整理得,
解得 .
故以 為直徑的圓過(guò) 軸上的定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<)的圖象與x軸的交點(diǎn)中,相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為,且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為M.
(1)求ω,φ的值;
(2)求f(x)的圖像的對(duì)稱(chēng)中心;
(3)當(dāng)x∈時(shí),求f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐中,底面ABCD是矩形,平面ABCD,,E,F(xiàn)是線段BC,AB的中點(diǎn).
Ⅰ證明:;
Ⅱ在線段PA上確定點(diǎn)G,使得平面PED,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】A、B、C三位老師分別教數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、體育、勞技、語(yǔ)文、閱讀六門(mén)課,每位教兩門(mén).已知:
(1)體育老師和數(shù)學(xué)老師住在一起,
(2)A老師是三位老師中最年輕的,
(3)數(shù)學(xué)老師經(jīng)常與C老師下象棋,
(4)英語(yǔ)老師比勞技老師年長(zhǎng),比B老師年輕,
(5)三位老師中最年長(zhǎng)的老師比其他兩位老師家離學(xué)校遠(yuǎn).
問(wèn):A、B、C三位老師每人各教哪幾門(mén)課?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直角梯形所在的平面垂直于平面,,,.
(1)若是的中點(diǎn),求證:平面;
(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四面體中, 在平面的射影為棱的中點(diǎn), 為棱的中點(diǎn),過(guò)直線作一個(gè)平面與平面平行,且與交于點(diǎn),已知, .
(1)證明: 為線段的中點(diǎn)
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知命題p:關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;命題q:關(guān)于x的一元二次方程對(duì)于任意實(shí)數(shù)a都沒(méi)有實(shí)數(shù)根.
若命題p為真命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
若命題p和命題q中有且只有一個(gè)為真命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四面體P﹣ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,2AC= AB,若四面體P﹣ABC的體積為 ,則該球的體積為( )
A.
B.2π
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“開(kāi)門(mén)大吉”是某電視臺(tái)推出的游戲節(jié)目.選手面對(duì)1~8號(hào)8扇大門(mén),依次按響門(mén)上的門(mén)鈴,門(mén)鈴會(huì)播放一段音樂(lè)(將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹),選手需正確回答出這首歌的名字,方可獲得該扇門(mén)對(duì)應(yīng)的家庭夢(mèng)想基金.在一次場(chǎng)外調(diào)查中,發(fā)現(xiàn)參賽選手多數(shù)分為兩個(gè)年齡段:20~30;30~40(單位:歲),其猜對(duì)歌曲名稱(chēng)與否的人數(shù)如圖所示.
(1)寫(xiě)出2×2列聯(lián)表;判斷是否有90%的把握認(rèn)為猜對(duì)歌曲名稱(chēng)與否和年齡有關(guān);說(shuō)明你的理由;(下面的臨界值表供參考) (參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d)
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
(2)現(xiàn)計(jì)劃在這次場(chǎng)外調(diào)查中按年齡段選取6名選手,并抽取3名幸運(yùn)選手,求3名幸運(yùn)選手中在20~30歲之間的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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