【題目】已知函數(shù),.
(1)求曲線在點處的切線方程;(2)求函數(shù)在上的最大值;
(3)求證:存在唯一的,使得.
【答案】(1);(2)6;(3)見解析
【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線斜率,寫出切線方程;(Ⅱ)寫出函數(shù)在區(qū)間上導數(shù)的變化情況,列表求最值即可;(Ⅲ)構造函數(shù)=,只需證明函數(shù)有唯一零點即可.
試題解析:(Ⅰ)由,得 ,
所以,又
所以曲線在點處的切線方程為:,即:.
(Ⅱ)令,得.
與在區(qū)間的情況如下:
- | 0 | + | |
極小值 |
因為 所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為6.
(Ⅲ)證明:設=,
則,
令,得.
與隨x的變化情況如下:
1 | |||||
0 | 0 | ||||
極大值 | 極小值 |
則的增區(qū)間為,,減區(qū)間為.
又,,所以函數(shù)在沒有零點,又,
所以函數(shù)在上有唯一零點.
綜上,在上存在唯一的,使得.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知奇函數(shù)f(x)是定義在R上的可導函數(shù),其導函數(shù)為f′(x),當x>0時有2f(x)+xf′(x)>x2 , 則不等式(x+2014)2f(x+2014)+4f(﹣2)<0的解集為( )
A.(﹣∞,﹣2012)
B.(﹣2016,﹣2012)
C.(﹣∞,﹣2016)
D.(﹣2016,0)
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【題目】已知函數(shù).
(1)若關于的不等式在上恒成立,求的取值范圍;
(2)設函數(shù),若在上有兩個不同極值點,求的取值范圍,并判斷極值的正負.
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【題目】如圖是在豎直平面內的一個“通道游戲”.圖中豎直線段和斜線段都表示通道,并且在交點處相遇,若豎直線段有第一條的為第一層,有二條的為第二層,…,依此類推.現(xiàn)有一顆小彈子從第一層的通道里向下運動.若在通道的分叉處,小彈子以相同的概率落入每個通道,記小彈子落入第n層第m個豎直通道(從左至右)的概率為P(n,m).某研究性學習小組經探究發(fā)現(xiàn)小彈子落入第n層的第m個通道的次數(shù)服從二項分布,請你解決下列問題.
(1)求P(2,1),P(3,2)及P(4,2)的值,并猜想P(n,m)的表達式.(不必證明)
(2)設小彈子落入第6層第m個豎直通道得到分數(shù)為ξ,其中ξ= ,試求ξ的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】設p:實數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2<0,其中a<0,q:實數(shù)x滿足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8>0,且非p是非q的必要不充分條件,則實數(shù)a的范圍是 .
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【題目】在統(tǒng)計學中,偏差是指個別測定值與測定的平均值之差,在成績統(tǒng)計中,我們把某個同學的某刻考試成績與該科班平均分的差叫某科偏差,班主任為了了解個別學生的偏科情況,對學生數(shù)學偏差(單位:分)與物理偏差(單位:分)之間的關系進行偏差分析,決定從全班40位同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析,得到他們的兩科成績偏差數(shù)據(jù)如表:
(1)已知與之間具有線性相關關系,求關于的線性回歸方程;
(2)若這次考試該班數(shù)學平均分為120分,物理平均分為92,試預測數(shù)學成績126分的同學的物理成績.
參考公式: ,
參考數(shù)據(jù): ,
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【題目】已知關于x的函數(shù) .
(1)如果函數(shù) ,求b、c;
(2)設當x∈( ,3)時,函數(shù)y=f(x)﹣c(x+b)的圖象上任一點P處的切線斜率為k,若k≤2,求實數(shù)b的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)在點處的切線為.
(1)求實數(shù), 的值;
(2)是否存在實數(shù),當時,函數(shù)的最小值為,若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由;
(3)若,求證: .
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