Question

【題目】已知函數(shù)在點處的切線為．

（1）求實數(shù)， 的值；

（2）是否存在實數(shù)，當時，函數(shù)的最小值為，若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由；

（3）若，求證： ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在， 的取值范圍為；（3）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）求導，進而可得，即可解出， 的值；（2）先對函數(shù)求導，再對的值進行分類討論，即可得的取值范圍；（3）結(jié)合（2），可證，進而可證，即可證．

試題解析：（1）解：∵，其定義域為，

∴．

依題意可得解得．

（2）解： ，

∴．

① 當時， ，則在上單調(diào)遞減，

∴．

② 當時，，則在上單調(diào)遞減,

∴．

③當時，則時，；時，，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

故當時， 的最小值為． ∵．

∴．

綜上所述，存在滿足題意，其取值范圍為．

（3）證法1：由（2）知，當時，在上單調(diào)遞減,

∴時，, 即．

∵,∴．．

∴． ∵,∴．

證法2：設，

則． 當，，

∴在上單調(diào)遞∴．

∴時，．

, ∴．

, ∴．