【題目】設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C:x2+3y2=6的左右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 且P,Q是橢圓C上不同的兩點(diǎn), (Ⅰ)若直線PQ過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F2 , 且傾斜角為30°,求證:|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差數(shù)列;
(Ⅱ)若P,Q兩點(diǎn)使得直線OP,PQ,QO的斜率均存在.且成等比數(shù)列.求直線PQ的斜率.

【答案】解:(Ⅰ)證明:x2+3y2=6即為 , 即有a= ,b= ,c= =2,
由直線PQ過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F2(2,0),且傾斜角為30°,
可得直線PQ的方程為y= (x﹣2),
代入橢圓方程可得,x2﹣2x﹣1=0,
即有x1+x2=2,x1x2=﹣1,
由弦長(zhǎng)公式可得|PQ|=
= = ,
由橢圓的定義可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a=4
可得|F1P|+|QF1|=4 = =2|PQ|,
則有|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差數(shù)列;
(Ⅱ)設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m,代入橢圓方程x2+3y2=6,
消去y得:(1+3k2)x2+6kmx+3(m2﹣2)=0,
則△=36k2m2﹣12(1+3k2)(m2﹣2)
=12(6k2﹣m2+2)>0,
x1+x2=﹣ ,x1x2= ,
故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 ,
∵直線OP、PQ、OQ的斜率依次成等比數(shù)列,
= =k2 ,
即km(x1+x2)+m2=0,即有﹣ +m2=0,
由于m≠0,故k2= ,
∴直線PQ的斜率k為±
【解析】(I)求得橢圓的a,b,c,設(shè)出直線PQ的方程,代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可得|PQ|,再由橢圓的定義可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a,由等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì),可得結(jié)論;(Ⅱ)設(shè)出直線PQ的方程,代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0,由等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì),結(jié)合直線的斜率公式,化簡(jiǎn)整理,解方程即可得到直線PQ的斜率.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】給出下列命題:

①正切函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是唯一的;

②若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,則這樣的函數(shù)是不唯一的;

③若,是第一象限角,且,則

④若是定義在上的奇函數(shù),它的最小正周期是,則

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在某大學(xué)自主招生考試中,所有選報(bào)Ⅱ類志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個(gè)科目的考試,成績(jī)分為A,B,C,D,E五個(gè)等級(jí).某考場(chǎng)考生的兩科考試成績(jī)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示,其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績(jī)?yōu)锽的考生有10人.
(Ⅰ)求該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)?yōu)锳的人數(shù);
(Ⅱ)若等級(jí)A,B,C,D,E分別對(duì)應(yīng)5分,4分,3分,2分,1分,求該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分;
(Ⅲ)已知參加本考場(chǎng)測(cè)試的考生中,恰有兩人的兩科成績(jī)均為A.在至少一科成績(jī)?yōu)锳的考生中,隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行訪談,求這兩人的兩科成績(jī)均為A的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】柴靜《穹頂之下》的播出,讓大家對(duì)霧霾天氣的危害有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí),對(duì)于霧霾天氣的研究也漸漸活躍起來(lái),某研究機(jī)構(gòu)對(duì)春節(jié)燃放煙花爆竹的天數(shù)x與霧霾天數(shù)y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得出下表數(shù)據(jù).

x

4

5

7

8

y

2

3

5

6

(1)請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,并說(shuō)明其相關(guān)關(guān)系;

(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程;

(3)試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)燃放煙花爆竹的天數(shù)為9的霧霾天數(shù).

(相關(guān)公式:)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其指標(biāo)值來(lái)衡量,其指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好,且指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品,現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗(yàn),各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品,并測(cè)量了每件產(chǎn)品的指標(biāo)值,得到了下面的試驗(yàn)結(jié)果: A配方的頻數(shù)分布表

指標(biāo)值分組

[90,94)

[94,98)

[98,102)

[102,106)

[106,110]

頻數(shù)

8

20

42

22

8

B配方的頻數(shù)分布表

指標(biāo)值分組

[90,94)

[94,98)

[98,102)

[102,106)

[106,110]

頻數(shù)

4

12

42

32

10


(1)分別估計(jì)用A配方,B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率;
(2)已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)y(單位:元)與其指標(biāo)值t的關(guān)系式為y= ,估計(jì)用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)大于0的概率,并求用B配方生產(chǎn)的上述產(chǎn)品平均每件的利潤(rùn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位.已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),0<α<π),曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=4cosθ. (Ⅰ)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)α變化時(shí),求|AB|的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知f(x)是定義在R上的函數(shù),滿足f(x)+f(﹣x)=0,f(x﹣1)=f(x+1),當(dāng)x∈[0,1)時(shí),f(x)=3x﹣1,則f(log 12)的值為(
A.﹣
B.﹣
C.﹣
D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為弘揚(yáng)“中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”,某中學(xué)在校內(nèi)對(duì)全體學(xué)生進(jìn)行了一次檢測(cè),規(guī)定分?jǐn)?shù)分為優(yōu)秀,為了解學(xué)生的測(cè)試情況,現(xiàn)從2000名學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行分析,按成績(jī)分組,得到如下頻數(shù)分布表。

分?jǐn)?shù)

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]

頻數(shù)

5

35

30

20

10

(1)在圖中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;

(2)估計(jì)這次測(cè)試的平均分;

(3)估計(jì)這次測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)fx=-,若xR,fx)滿足f-x=-fx).

1)求實(shí)數(shù)a的值;

2)判斷函數(shù)fx)(xR)的單調(diào)性,并說(shuō)明理由;

3)若對(duì)任意的tR,不等式ft2-4t+f-k)<0恒成立,求k的取值范圍.

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