Question

9．命題p：已知f（x）=x²+（m²-1）x+（m-2）的一個(gè)零點(diǎn)比1大，一個(gè)零點(diǎn)比1小．
命題q：$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²≤-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1在x∈[$\frac{3}{2}$，+∞）上恒成立．
若￢p為假命題，p∧q為真命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 若￢p為假命題，p∧q為真命題，則p，q同時(shí)為真命題，然后分別求出p，q為真命題的等價(jià)條件即可

解答 解：∵￢p為假命題，p∧q為真命題，
∴p為真，q為真，
命題p，設(shè)方程的兩根分別為x₁，x₂，且x₁＜x₂，則（x₁-1）（x₂-1）＜0，x₁，•x₂-（x₁+x₂）+1＜0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：（m-2）+（m²-1）+1＜0，即-2＜m＜1，
命題q：$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²≤-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1在x∈[$\frac{3}{2}$，+∞）上恒成立，
當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，函數(shù)y=≤-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1取得最小值-$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²≤-$\frac{5}{3}$，
解得m≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或m≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
綜上所述-2＜m≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤m＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合命題的應(yīng)用，要求熟練掌握復(fù)合命題與簡(jiǎn)單命題的真假關(guān)系，以及函數(shù)恒成立的問題，和一元二次方程根的關(guān)系，屬于中檔題．