Question

20．如圖，在多面體ABCDE中，EA⊥平面ABC，DC∥EA且EA=2DC，CA=CB，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)．
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求證：平面ADF⊥平面ABE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理證明FD∥CG即可證明DF∥平面ABC；
（2）根據(jù)面面垂直的判定定理即即可證明平面ADF⊥平面ABE

解答 （1）證明：如圖所示，取AB中點(diǎn)G，連CG、FG．
∵F為BE的中點(diǎn)．
∴EF=FB，AG=GB，
∴FG∥EA且FG=$\frac{1}{2}$EA．
又DC∥EA，CD=$\frac{1}{2}$EA，
∴GF∥DC且GF=DC．
∴四邊形CDFG為平行四邊形，
∴FD∥CG．
∵DF?平面ABC，CG?平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
（2）證明：△ABC中，CA=CB．G是AB的中點(diǎn)，
∴CG⊥AB
∵EA⊥平面ABC，CG?平面ABC，
∴AE⊥CG．
∵AB∩EA=A，AB?平面AEB，EA?平面AEB
∴CG⊥平面AEB．
又∵DF∥CG，
∴DF⊥平面AEB．DF?平面BDE
∴平面ADF⊥平面ABE．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間面面垂直以及線(xiàn)面平行的判定，根據(jù)相應(yīng)的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．