Question

8．如圖，正方形ABCD的邊長為1，正方形ADEF所在平面與平面ABCD互相垂直，G，H是DF，F(xiàn)C的中點(diǎn)．
（1）求證：GH∥平面CDE；
（2）求證：BC⊥平面CDE；
（3）求三棱錐A-BCG的體積．

Answer 1

分析 （1）由三角形的中位線性質(zhì)得GH∥CD，然后由線面平行的判定定理得答案；
（2）由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)得ED⊥AD，進(jìn)一步得到ED⊥平面ABCD，即有ED⊥BC．又BC⊥CD，則由線面垂直的判斷得答案；
（3）依題意：點(diǎn)G到平面ABCD的距離h等于點(diǎn)F到平面ABCD的一半，即棱錐A-BCG的高h(yuǎn)=$\frac{1}{2}$，然后代入棱錐的體積公式得答案．

解答 （1）證明：∵G、H分別是DF、FC的中點(diǎn)，
∴△FCD中，GH∥CD，
∵CD?平面CDE，GH?平面CDE，
∴GH∥平面CDE；
（2）證明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD，
∴ED⊥AD，AD?平面ABCD，
∴ED⊥平面ABCD，
∵BC?平面ABCD，
∴ED⊥BC．
又BC⊥CD，CD、DE相交于D點(diǎn)，
∴BC⊥平面CDE；
（3）解：依題意：點(diǎn)G到平面ABCD的距離h等于點(diǎn)F到平面ABCD的一半，
即：h=$\frac{1}{2}$．
∴${V_{A-BCG}}={V_{GABC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$．

點(diǎn)評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．