Question

19．如圖三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC₁∥平面A₁CM；
（Ⅱ）若CA=CB，A₁在平面ABC的射影為M，求證：平面A₁CM⊥平面ABB₁ A₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明BC₁∥平面A₁CM；
（Ⅱ）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面A₁CM⊥平面ABB₁ A₁

解答 證法一：（I）連接AC₁交A₁C于點(diǎn)N，則N為A₁C的中點(diǎn)．…（1分）
∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，
∴MN∥BC₁．…（3分）
又∵M(jìn)N?平面A₁CM，…（4分）BC₁?平面A₁CM，…（5分）
∴BC₁∥平面A₁CM．…（6分）
（ II）∵CA=CB，M為AB的中點(diǎn)，
∴CM⊥AB． …（7分）
∵A₁在平面ABC的射影為M，
∴A₁M⊥平面ACB，…（8分）
∴A₁M⊥AB，…（9分）
又CM∩A₁M=M，
∴AB⊥平面A₁CM，…（10分）
又AB?平面ABB₁A₁，…（11分）
∴平面A₁CM⊥平面ABB₁A₁．…（12分）
證法二：（ I）取A₁B₁中點(diǎn)N，連結(jié)BN，C₁N，…（1分）
∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，
∴A₁N=MB，A₁N∥MB
∴四邊形A₁MBN為平行四邊形，
∴BN∥A₁M．…（2分）
同理可得C₁N∥CM，
又C₁N?平面A₁CM，CM?平面A₁CM，…（3分）
∴C₁N∥平面A₁CM．…（4分）
同理BN∥平面A₁CM．
∵C₁N∩BN=N，
∴平面BC₁N∥平面A₁CM，…（5分）
∵BC₁?平面BC₁N，
∴BC₁∥平面A₁CM． …（6分）
（ II）∵CA=CB，M為AB的中點(diǎn)，
∴CM⊥AB． …（7分）
∵A₁在平面ABC的射影為M，
∴A₁M⊥平面ACB，…（8分）
∴A₁M⊥AB，…（9分）
又CM∩A₁M=M，
∴AB⊥平面A₁CM，…（10分）
又AB?平面ABB₁A₁，…（11分）
∴平面A₁CM⊥平面ABB₁A₁．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查空間線與線、線與面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力．