Question

18．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+1（a＜0）的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足下列條件：當(dāng)1＜x＜4時，f′（x）＞0；當(dāng)x＞4或x＜1時，f′（x）＜0；當(dāng)x=4或x=1時，f′（x）=0．
（1）試畫出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）若f（x）的圖象與x軸有兩個交點，求a的值．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而畫出函數(shù)的大致圖象；（2）由題意得到方程組，解出a的值即可．

解答 解：（1）由題意得：f（x）在（-∞，1）遞減，在（1，4）遞增，在（4，+∞）遞減，
且f（0）=1，
畫出函數(shù)f（x）的大致圖象，如圖示：
；
（2）由f（x）的圖象與x軸有兩個交點，
得：f′（1）=0，f（1）=0，f′（4）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c+1=0}\\{3a+2b+c=0}\\{48a+8b+c=0}\end{array}\right.$，解得：a=-$\frac{3}{17}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的極值問題，是一道中檔題．