Question

3．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA⊥CB，AA₁=AC=CB=2，D是AB的中點．
（1）求證：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求證：A₁C⊥AB₁；
（3）若點E在線段BB₁上，且二面角E-CD-B的正切值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求此時三棱錐C-A₁DE的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AC₁交A₁C于點F，由三角形中位線定理得BC₁∥DF，由此能證明BC₁∥平面A₁CD．
（2）利用線面垂直的判定定理證明A₁C⊥平面AB₁C₁，即可證明A₁C⊥AB₁；
（3）證明∠BDE為二面角E-CD-B的平面角，點E為BB₁的中點，確定DE⊥A₁D，再求三棱錐C-A₁DE的體積．

解答 （1）證明：連結AC₁，交A₁C于點F，則F為AC₁中點，
又D是AB中點，連結DF，則BC₁∥DF，
因為DF?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．…（3分）
（2）證明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
因為AA₁=AC，所以AC₁⊥A₁C…（4分）
因為CA⊥CB，B₁C₁∥BC，
所以B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，所以B₁C₁⊥A₁C…（6分）
因為B₁C₁∩AC₁=C₁，所以A₁C⊥平面AB₁C₁
所以A₁C⊥AB₁…（8分）
（3）解：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥CD，
因為AC=CB，D為AB的中點，所以CD⊥AB，CD⊥平面ABB₁A₁．
所以CD⊥DE，CD⊥DB，
所以∠BDE為二面角E-CD-B的平面角．
在Rt△DEB中，$tan∠BDE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
由AA₁=AC=CB=2，CA⊥CB，
所以$AB=2\sqrt{2}$，$DB=\sqrt{2}$．
所以$\frac{BE}{DB}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得BE=1．所以點E為BB₁的中點．…（11分）
又因為$CD=\sqrt{2}$，${A_1}D=\sqrt{6}$，$DE=\sqrt{3}$，A₁E=3，
故${A_1}{D^2}+D{E^2}={A_1}{E^2}$，故有DE⊥A₁D
所以${V_{C-{A_1}DE}}=\frac{1}{3}×{S_{△{A_1}DE}}×DC=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{3}×\sqrt{2}=1$…（14分）

點評 本題主要考查直線與平面平行、垂直等位置關系，考查線面平行、二面角的概念、求法、三棱錐C-A₁DE的體積等知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力，是中檔題．