Question

11．過(guò)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$的右焦點(diǎn)F₂作斜率為-1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為A，B．若$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=3$\overrightarrow{AB}$，則雙曲線的漸近線方程為y=±7x．

Answer 1

分析 求出右焦點(diǎn)和雙曲線的漸近線方程，設(shè)出過(guò)右焦點(diǎn)F₂作斜率為-1的直線為y=-（x+c），代入漸近線方程，求得A，B的坐標(biāo)，由向量共線的坐標(biāo)表示，可得a，b的關(guān)系，進(jìn)而得到漸近線方程．

解答 解：由題意可得F₂（-c，0），雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)F₂作斜率為-1的直線為y=-（x+c），
代入漸近線方程，可得A（-$\frac{ac}{a+b}$，-$\frac{bc}{a+b}$），
B（-$\frac{ac}{a-b}$，$\frac{bc}{a-b}$），
由$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=3$\overrightarrow{AB}$，可得3$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=4$\overrightarrow{{F}_{2}A}$，
即有3（-$\frac{bc}{a-b}$，$\frac{bc}{a-b}$）=4（$\frac{bc}{a+b}$，-$\frac{bc}{a+b}$），
可得3•（-$\frac{bc}{a-b}$）=4•$\frac{bc}{a+b}$，化簡(jiǎn)可得b=7a，
即有漸近線方程為y=±7x．
故答案為：y=±7x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，考查向量共線的坐標(biāo)表示，運(yùn)用直線方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．