Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-$\frac{3}{{2}^{n}}$（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項和為T_n，是否存在正整數(shù)λ，對任意m，n∈N^*，不等式T_m-λS_n＜0恒成立？若存在，求出λ的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）${S}_{n}=2{a}_{n}-\frac{3}{2}（n∈N*）$，根據(jù)分類討論n=1，a1=$\frac{3}{2}$，當(dāng)a_n=S_n-S_n-1，再利用奏項，湊成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得到通項．
（2）求出bn的通項公式，將其bn化簡，將其轉(zhuǎn)化為$_{n}＜\frac{1}{{2}^{n-1}-1}-\frac{1}{{2}^{n}-1}$，在分別求出T₁、T₂及T_n，則求出$\frac{{T}_{m}}{{S}_{n}}＜1$，則可求得λ的最小值．

解答 解：${S}_{n}=2{a}_{n}-\frac{3}{{2}^{n}}（n∈{N}^{*}）$，
∴當(dāng)n=1時，${a}_{1}={S}_{1}=2{a}_{1}-\frac{3}{2}$，解得a1=$\frac{3}{2}$
當(dāng)n≥2，a_n=S_n-S_n-2=2${a}_{n}-\frac{3}{{2}^{n}}-（2{a}_{n-1}-\frac{3}{{2}^{n-1}}）$
化為：${a}_{n}=2{a}_{n-1}-\frac{3}{{2}^{n}}$，
變形為：${a}_{n}-\frac{1}{{2}^{n}}=2（{a}_{n-1}-\frac{1}{{2}^{n-1}}）$
數(shù)列$\{{a}_{n}-\frac{1}{{2}^{n}}\}$是等比數(shù)列，首項為1，公比為2，
∴${a}_{n}-\frac{1}{{2}^{n}}={2}^{n-1}$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n}}+{2}^{n-1}$n∈N^*
（2）將a_n代入求得${S}_{n}=\frac{{2}^{2n}-1}{{2}^{n}}$則$_{n}=\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{{2}^{n}}{{2}^{2n}-1}$
$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{{2}^{n}}{{2}^{2n}-1}$${S}_{n}-{S}_{n-1}={2}^{n}-\frac{1}{{2}^{n}}-（{2}^{n-1}-\frac{1}{{2}^{n-1}}）≥{S}_{1}=\frac{3}{2}$
$_{n}=\frac{{2}^{n}}{{2}^{2n}-1}=\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n}+1）}$
∴$_{n}＜\frac{{2}^{n}}{{（2}^{n}-1）（{2}^{n}-2）}=\frac{{2}^{n-1}}{{（2}^{n}-1）（{2}^{n-1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}-1}-\frac{1}{{2}^{n}-1}（n≥2）$
當(dāng)n=1時，${T}_{1}=_{1}=\frac{2}{3}$
當(dāng)n=2時，${T}_{2}=_{1}+_{2}=\frac{2}{3}+\frac{4}{5}=\frac{14}{14}$
當(dāng)n≥3時，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
≤$\frac{2}{3}+\frac{4}{15}+\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{15}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$
=$\frac{19}{15}-\frac{1}{{2}^{n}-1}＜\frac{19}{15}$
$\frac{{T}_{m}}{{S}_{n}}＜\frac{\frac{19}{15}}{\frac{3}{2}}=\frac{38}{15}＜1$
存在λ_min=1
∴存在正整數(shù)λ=1，對任意m，n∈N^*，恒有T_m-λS_m＜0成立．

點評 本題主要考察求數(shù)列的通項公式，湊成等比數(shù)列的形式，求其通項，再利用已知的通項，構(gòu)造新的數(shù)列，對其進行化簡處理，求出λ的值，屬于難題．