Question

7．已知函數(shù)f（x）=sinx．若存在x₁，x₂，…，x_m滿(mǎn)足0≤x₁＜x₂＜…＜x_m≤6π，且|f（x₁）-f（x₂）|+|f（x₂）-f（x₃）|+…+|f（x_m-1）-f（x_m）|=12（m≥2，m∈N^*），則m的最小值為8．

Answer 1

分析 由正弦函數(shù)的有界性可得，對(duì)任意x_i，x_j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x_i）-f（x_j）|≤f（x）_max-f（x）_min=2，要使m取得最小值，盡可能多讓x_i（i=1，2，3，…，m）取得最高點(diǎn)，然后作圖可得滿(mǎn)足條件的最小m值．

解答 解：∵y=sinx對(duì)任意x_i，x_j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x_i）-f（x_j）|≤f（x）_max-f（x）_min=2，
要使m取得最小值，盡可能多讓x_i（i=1，2，3，…，m）取得最高點(diǎn)，
考慮0≤x₁＜x₂＜…＜x_m≤6π，|f（x₁）-f（x₂）|+|f（x₂）-f（x₃）|+…+|f（x_m-1）-f（x_m）|=12，
按下圖取值即可滿(mǎn)足條件，

∴m的最小值為8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，正確理解對(duì)任意x_i，x_j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x_i）-f（x_j）|≤f（x）_max-f（x）_min=2是解答該題的關(guān)鍵，是難題．