Question

15．若?x∈[$\frac{1}{4}$，+∞），使得不等式e^x＜$\frac{x-m}{\sqrt{x}}$成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{1}{4}}$）
• B． （$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{1}{4}}$，+∞）
• C． （-∞，$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{1}{4}}$）
• D． （$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{1}{4}}$，+∞）

Answer 1

分析 不等式轉(zhuǎn)化為m＜x-ex $\sqrt{x}$成立，令h（x）=x-ex $\sqrt{x}$，求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，從而得到h（x）的單調(diào)性，進(jìn)而h（x）＜h（0），從而求出m的范圍；

解答 解：∵?x∈[$\frac{1}{4}$，+∞），使使得不等式e^x＜$\frac{x-m}{\sqrt{x}}$成立，
∴?x∈[$\frac{1}{4}$，+∞），使得m＜x-e^x$\sqrt{x}$成立，
令h（x）=x-e^x $\sqrt{x}$，則h′（x）=1-e^x（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$），
當(dāng)x∈[$\frac{1}{4}$，+∞）時(shí)，∵e^x＞${e}^{\frac{1}{4}}$＞1，$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$≥2$\sqrt{\sqrt{x}•\frac{1}{2\sqrt{x}}}$=$\sqrt{2}$，
∴e^x（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）＞1，
∴h′（x）＜0，從而h（x）在[$\frac{1}{4}$，+∞），上為減函數(shù)，
∴h（x）＜h（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{1}{4}}$，
∴m＜$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{1}{4}}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的恒成立問題，以及函數(shù)在閉區(qū)間上的值域的求法，不等式的解法，屬于中檔題．