Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁=BC．
（1）求證：平面DA₁C₁∥平面B₁AC；
（2）求證：B₁C⊥BD₁．

Answer 1

考點：平面與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）充分利用已知長方體的性質(zhì)，結(jié)合面面平行的判定定理，只要判斷DA₁∥平面B₁AC和A₁C₁∥平面B₁AC即可；
（2）只要證明B₁C⊥平面BC₁D₁，利用線面垂直的性質(zhì)得到所證．

解答： 證明：（1）∵四邊形A₁B₁CD為平行四邊形，∴DA₁∥CB₁…（1分）
∵CB₁?平面B₁AC，DA₁?平面B₁AC，∴DA₁∥平面B₁AC…（2分）
∵四邊形A₁C₁CA為平行四邊形，∴A₁C₁∥CA…（3分）
∵CA?平面B₁AC，A₁C₁?平面B₁AC∴A₁C₁∥平面B₁AC…（4分）
∵DA₁，A₁C₁是平面DA₁C₁內(nèi)的兩條相交直線 …（5分）
∴平面DA₁C₁∥平面B₁AC…（6分）
（2）連接BC₁，∵BB₁=BC，∴在正方形BCC₁B₁中，B₁C⊥BC₁…（7分）
∵D₁C₁⊥平面BCC₁B₁∴B₁C⊥D₁C₁…（9分）
∵BC₁，D₁C₁是平面BC₁D₁內(nèi)的兩條相交直線
∴B₁C⊥平面BC₁D₁…（11分）
∵BD₁?平面BC₁D₁
∴B₁C⊥BD₁…（12分）

點評：本題考查了長方體中面面平行的判定和線線垂直的判定，關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用長方體的性質(zhì)結(jié)合面面平行的判定定理解答，屬于基礎(chǔ)題．