Question

設A是棱長為a的正方體的一個頂點，過從此頂點出發(fā)的三條棱的中點作截面，對正方體的所有頂點都如此操作，所得的各截面與正方體各面共同圍成一個多面體，則關于此多面體有以下結論：
①有12個頂點；②有24條棱；③有12個面；④表面積為3a²；⑤體積為

5

6

a³．
其中正確的結論是（　�。�

• A、①③④
• B、①②⑤
• C、②③⑤
• D、②④⑤

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：空間位置關系與距離

分析：先根據(jù)題意畫出圖形，如圖，原來的六個面仍然在，但是卻變成了一個小正方形，再添了八個頂點各對應的一個三角形的面，計算或數(shù)一數(shù)它的頂點數(shù)目、棱數(shù)及面數(shù)，可判斷①、②、③；
再結合割補法求出它的表面積及體積，可判斷④與⑤．

解答： 解：如圖，
對于①，由于所有的頂點都出現(xiàn)在原來正方體的棱的中點位置，原來的棱的數(shù)目是12，所以現(xiàn)在的頂點的數(shù)目是12，故①正確；
對于②，每個正方形4條邊，每個三角形3條邊，4×6+3×8=48，考慮到每條邊對應兩個面，所以實際只有

1

2

×48=24（從圖片上可以看出每個頂點對應4條棱，每條棱很明顯對應兩個頂點，所以棱數(shù)為

1

2

×48=24個），故②正確；
對于③，原來的六個面仍在，卻是變成了一個小正方形，且添了八個頂點各對應的一個三角形的面，所以總計6+8=14個面，
故③錯；
對于④，三角形和四邊形的邊長都是

2

2

a，所以正方形總面積為6×

1

2

a²=3a²，三角形總面積為8×

1

2

×

1

2

a²sin60°=

3

a²，
表面積（3+

3

）a²，故④錯；
對于⑤，體積為原正方形體積減去8個三棱錐體積，每個三棱錐體積為8×

1

6

×(

a

2

)3=

1

6

a³，剩余總體積為a³-

1

6

a³=

5

6

a³．
故⑤正確．
故選：B．

點評：本題主要考查棱柱的結構特征，多面體的表面積與體積等基礎知識，考查化歸思想與空間想象能力、運算求解能力，屬于難題．