Question

20．已知半徑為1的球O內(nèi)切于正四面體A-BCD，線段MN是球O的一條動(dòng)直徑（M．N是直徑的兩端點(diǎn)），點(diǎn)P是正四面體A-BCD的表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則|${\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PN}}$|的取值范圍是[2，6]．

Answer 1

分析 運(yùn)用向量的加減運(yùn)算的性質(zhì)：向量的模的定義，討論P(yáng)位于切點(diǎn)E和頂點(diǎn)時(shí)分別取得最值，即可得到所求取值范圍．

解答 解：由題意M，N是直徑的兩端點(diǎn)，可得$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-1，
∴|$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PN}$|=|$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{ON}$|=2|$\overrightarrow{PO|}$，
即求正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)P到O的距離的范圍．
當(dāng)P位于E（切點(diǎn)）時(shí)，OP取得最小值1；
當(dāng)P位于A處時(shí)，OP即為正四面體外接球半徑最大即為3．
設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為a，由O為正四面體的中心，
可得直角三角形ABE中，AE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，OE=$\frac{\sqrt{6}}{12}$a，AO=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a，
綜上可得|$\overrightarrow{PO}$|的最小值為1，最大值為3，
則|$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PN}$|的取值范圍是[2，6]．
故答案為：[2，6]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量在幾何中的運(yùn)用，考查向量的加減運(yùn)算的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．