Question

8．已知圓C：（x-3）²+y²=4，直線l過(guò)點(diǎn)（2，0）與圓C交于兩點(diǎn)A，B，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍是（　�。�

• A． [1，+∞）
• B． （-∞，5）
• C． [1，5]
• D． [1，5）

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立直線方程與圓的方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及數(shù)量積公式求解．

解答 解：如圖，
設(shè)直線l的方程為x=2+ty，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=2+ty}\\{（x-3）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（t²+1）y²-2ty-3=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2t}{{t}^{2}+1}$，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{3}{{t}^{2}+1}$．
x₁x₂=（ty₁+2）（ty₂+2）=t²y₁y₂+2t（y₁+y₂）+4
=$\frac{-3{t}^{2}}{{t}^{2}+1}+\frac{4{t}^{2}}{{t}^{2}+1}+4=\frac{5{t}^{2}+4}{{t}^{2}+1}$．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{5{t}^{2}+4}{{t}^{2}+1}-\frac{3}{{t}^{2}+1}=\frac{5{t}^{2}+1}{{t}^{2}+1}=5-\frac{4}{{t}^{2}+1}$．
∵t²+1≥1，1≤$5-\frac{4}{{t}^{2}+1}＜5$．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍是[1，5）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．