Question

【題目】已知數列是無窮數列，滿足.

（1）若，，求、、的值；

（2）求證：“數列中存在使得”是“數列中有無數多項是”的充要條件；

（3）求證：在數列中，使得.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由，，結合可得、、的值；

（2）分必要性和充分性證明，充分性利用反證法證明；

（3）利用反證法，假設數列中不存在，使得，則或，然后分類推出矛盾得答案．

（1），，，

，則；

，則；

，則.

因此，，，

（2）必要性：已知數列中有無數多項是，

則數列中存在使得.

數列中有無數多項是，數列中存在使得，

即數列中存在使得；

充分性：已知數列中存在使得，則數列中有無數多項是.

假設數列中沒有無數多項是，不妨設是數列中為的最后一項，則，若，

則由，可得，

，則，與假設矛盾；

若，則由，可得，

，

，

，

，得，與假設矛盾，原命題正確.

由上可知，“數列中存在使得”是“數列中有無數多項是”的充要條件；

（3）假設數列中不存在，使得，

則或，由，

可得①，且，

當時，，由假設知.

若，則，與矛盾；

若，設，則，

由①可得，，

，即，，

對于，顯然存在使得，，這與矛盾.

所以，假設不成立，原命題正確.