Question

3．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，F(xiàn)是線段DC上的點(diǎn)．若DC=3DF，設(shè)$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{AF}$=（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$
• B． $\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$
• C． $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow$
• D． $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形利用平面向量的線性表示與運(yùn)算性質(zhì)，即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖所示，
平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，F(xiàn)是線段DC上的點(diǎn)，且DC=3DF，
∴$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OD}$）=$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{BD}$），
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，
設(shè)$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow$，
則$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$）+$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{BD}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BD}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的線性表示與運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．