Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-alnx（a∈R）．
（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=x-$\frac{a}{x}$，分別討論①a≤0時(shí)，②a＞0時(shí)的情況，從而求出單調(diào)區(qū)間．
（2）函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)?f′（x）=x-$\frac{a}{x}$≥0在（1，+∞）上恒成立?a≤（x²）_min在（1，+∞）上恒成立，求出函數(shù)y=x²的最小值即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=x-$\frac{a}{x}$，
①a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
②a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{a}$，x＜-$\sqrt{a}$（舍），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{a}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{a}$）遞減，在（$\sqrt{a}$，+∞）遞增．
（2）函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)?f′（x）=x-$\frac{a}{x}$≥0在（1，+∞）上恒成立?a≤（x²）_min在（1，+∞）上恒成立．
∵函數(shù)y=x²在（1，+∞）上滿足y＞1．
∴a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化等是解題的關(guān)鍵．