Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{x}^{3}-4x-4，x≤0}\\{|lnx|，x＞0}\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）-k有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{4}{3}$）
• B． [0，$\frac{4}{3}$]
• C． （-4，$\frac{4}{3}$）
• D． [-4，$\frac{4}{3}$]

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)f（x）的圖象和直線y=k有4個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得k的范圍．

解答 解：數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{x}^{3}-4x-4，x≤0}\\{|lnx|，x＞0}\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）-k有4個(gè)不同的零點(diǎn)，
則函數(shù)f（x）的圖象和直線y=k有4個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖：
當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-4x-4，∴f′（x）=（x+2）（x-2），故函數(shù)f（x）在（-∞，-2）上，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)；
在（-2，0]上，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)，且極大值為f（-2）=$\frac{4}{3}$．
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=|lnx|，故函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，且f（1）=0．
∴0＜k＜$\frac{4}{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的定義，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．