Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點，AA₁=AB=1．
（Ⅰ）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-D的正切值；
（Ⅲ）求點C到平面AB₁D的距離．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接A₁B，交AB₁于E，連DE，由矩形的性質(zhì)及三角形中位線定理，可得DE∥A₁C，再由線面平行的判定定理，即可得到A₁C∥平面AB₁D．
（Ⅱ）過D作DF⊥AB于F，過F作FG⊥AB₁于G，連接DG．我們可以得到∠DGF為二面角B-AB₁-D的平面角．解三角形DGF，即可求出二面角B-AB₁-D的正切值．
（Ⅲ）連接A₁D，設(shè)點C到平面AB₁D的距離為d．由VA1-AB1D=VB1-A1AD，利用等積法能求出點C到平面AB₁D的距離．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)A₁B，AB₁，交于點E，則E是AB₁中點，
連結(jié)DE，∵D是BC的中點，
∴DE是△A₁BC的中位線，
∴DE∥A₁C，
∵A₁C不包含于平面AB₁D，DE?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．
（Ⅱ）過D作DF⊥AB于F，過F作FG⊥AB₁于G，連接DG．
因為平面A₁ABB₁⊥平面ABC，DF⊥AB，所以DF⊥平面A₁ABB₁．
又AB₁?平面A₁ABB₁，所以AB₁⊥DF．
又FG⊥AB₁，所以AB₁⊥平面DFG，所以AB₁⊥DG．
又AB₁⊥FG，所以∠DGF為二面角B-AB₁-D的平面角．
因為AA₁=AB=1，
所以在正△ABC中，DF=

3

4

，
在△ABC中，F(xiàn)G=

3

4

BE=

3 2

8

，
所以在Rt△DFG中，tan∠DFG=

DF

FG

=

6

3

．
（Ⅲ）連接A₁D，設(shè)點C到平面AB₁D的距離為d．
因為正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點，AA₁=AB=1，
所以VA1-AB1D=VB1-A1AD，
所以

1

3

×

1

2

×

3

2

×

5

2

×d=

1

3

×

1

2

×

3

2

×1×1×

1

2

，
解得d=

5

5

．
故點C到平面AB₁D的距離為

5

5

．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，用空間向量求平面的夾角，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．