如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中點(diǎn),AA1=AB=1.
(Ⅰ)求證:A1C∥平面AB1D;
(Ⅱ)求二面角B-AB1-D的正切值;
(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面AB1D的距離.
考點(diǎn):二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(Ⅰ)連接A1B,交AB1于E,連DE,由矩形的性質(zhì)及三角形中位線定理,可得DE∥A1C,再由線面平行的判定定理,即可得到A1C∥平面AB1D.
(Ⅱ)過(guò)D作DF⊥AB于F,過(guò)F作FG⊥AB1于G,連接DG.我們可以得到∠DGF為二面角B-AB1-D的平面角.解三角形DGF,即可求出二面角B-AB1-D的正切值.
(Ⅲ)連接A1D,設(shè)點(diǎn)C到平面AB1D的距離為d.由VA1-AB1D=VB1-A1AD,利用等積法能求出點(diǎn)C到平面AB1D的距離.
解答: (Ⅰ)證明:連結(jié)A1B,AB1,交于點(diǎn)E,則E是AB1中點(diǎn),
連結(jié)DE,∵D是BC的中點(diǎn),
∴DE是△A1BC的中位線,
∴DE∥A1C,
∵A1C不包含于平面AB1D,DE?平面AB1D,
∴A1C∥平面AB1D.
(Ⅱ)過(guò)D作DF⊥AB于F,過(guò)F作FG⊥AB1于G,連接DG.
因?yàn)槠矫鍭1ABB1⊥平面ABC,DF⊥AB,所以DF⊥平面A1ABB1
又AB1?平面A1ABB1,所以AB1⊥DF.
又FG⊥AB1,所以AB1⊥平面DFG,所以AB1⊥DG.
又AB1⊥FG,所以∠DGF為二面角B-AB1-D的平面角.
因?yàn)锳A1=AB=1,
所以在正△ABC中,DF=
3
4
,
在△ABC中,F(xiàn)G=
3
4
BE=
3
2
8
,
所以在Rt△DFG中,tan∠DFG=
DF
FG
=
6
3

(Ⅲ)連接A1D,設(shè)點(diǎn)C到平面AB1D的距離為d.
因?yàn)檎庵鵄BC-A1B1C1中,D是BC的中點(diǎn),AA1=AB=1,
所以VA1-AB1D=VB1-A1AD,
所以
1
3
×
1
2
×
3
2
×
5
2
×d
=
1
3
×
1
2
×
3
2
×1×1×
1
2
,
解得d=
5
5

故點(diǎn)C到平面AB1D的距離為
5
5
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定,用空間向量求平面的夾角,解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

計(jì)算:
3
3-
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品,固定成本為20000元,每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品,成本增加100元,已知年總收益R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)=
400x-
1
2
x2,0≤x≤400
80000,x>400.
則總利潤(rùn)最大時(shí).求每年的產(chǎn)量.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

敘述并證明面面垂直的性質(zhì)定理.
定理:若兩個(gè)平面
 
,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于
 
的直線與另一個(gè)平面垂直.
已知:如圖,設(shè)
 
,α∩β=l,
 
,
 
,AB∩l=B,求證:
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知三角形的頂點(diǎn)為A(2,4),B(0,-2),C(-2,3),求:
(1)直線AB的方程;
(2)AB邊上的高所在直線的方程;
(3)求AB的中位線所在的直線方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

橢圓G:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),M是橢圓上的一點(diǎn),且滿足
F1M
F2M
=0.
(Ⅰ)求離心率的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)離心率e取得最小值時(shí),橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距離為4(
2
-1).
①求此時(shí)橢圓G的方程;
②設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓G相交于不同的兩點(diǎn)A、B,Q為AB的中點(diǎn),問(wèn)A、B兩點(diǎn)能否關(guān)于過(guò)點(diǎn)P(0,-
3
3
)、Q的直線對(duì)稱?若能,求出k的取值范圍;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

計(jì)算:
6
2
2
4
+
6
4
).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知集合M={x|x=12m+8n+4l,m,l,n∈Z},集合N={x|x=20p+16q+12r,p,q,r∈Z},試探究集合M和集合N之間的關(guān)系.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
sin(ωx+
π
6
)+
1
2
sin(ωx-
π
6
)-cos2
ωx
2
+
1
2
(ω>0)且函數(shù)f(x)的最小正周期是2π,求函數(shù)f(x)的解析式.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案