橢圓G:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的兩個焦點為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),M是橢圓上的一點,且滿足
F1M
F2M
=0.
(Ⅰ)求離心率的取值范圍;
(Ⅱ)當離心率e取得最小值時,橢圓上的點到焦點的最近距離為4(
2
-1).
①求此時橢圓G的方程;
②設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓G相交于不同的兩點A、B,Q為AB的中點,問A、B兩點能否關(guān)于過點P(0,-
3
3
)、Q的直線對稱?若能,求出k的取值范圍;若不能,請說明理由.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)設(shè)M(x,y),由
F1M
F2M
=0,得y2=c2-x2,由M在橢圓上,得y2=b2-
b2
a2
x2
,從而得到x2=a2-
a2b2
c2
,由此能求出離心率的取值范圍.
(2)①依題意得:
a-c=4(
2
-1)
c
a
=
2
2
,由此能求出橢圓方程.
②設(shè)l:y=kx+m,由
x2
32
+
y2
16
=1
y=kx+m
,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-32=0,由此利用根的判別式、韋達定理、直線對稱,結(jié)合已知條件能求出k的取值范圍.
解答: 解:(1)橢圓G:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的兩個焦點為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),
M是橢圓上的一點,設(shè)M(x,y),則
F1M
=(x+c,y)
,
F2M
=(x-c,y)
,
∵滿足
F1M
F2M
=0,
∴x2+y2=c2,∴y2=c2-x2,…(1分)
又M在橢圓上,∴y2=b2-
b2
a2
x2
,…(2分)
∴c2-x2=b2-
b2
a2
x2
,x2=a2-
a2b2
c2
,…(3分)
又0≤x2≤a2,∴0<2-
1
e2
≤1,∴
2
2
≤e≤1
,…(4分)
∵0<e<1,∴
2
2
≤e<1
.…(5分)
(2)①依題意得:
a-c=4(
2
-1)
c
a
=
2
2
,∴
a=4
2
b=4
,
∴橢圓方程是:
x2
32
+
y2
16
=1
.…(7分)
②設(shè)l:y=kx+m,由
x2
32
+
y2
16
=1
y=kx+m
,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-32=0,
而△>0可得m2<32k2+16…(9分)
又A、B兩點關(guān)于過點P(0,-
3
3
)、Q的直線對稱
kPQ=-
1
k
,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
xQ=-
2km
1+2k2
,yQ=
m
1+2k2
,…(10分)
yQ+
3
3
-xQ
=-
1
k
,∴m=
1+2k2
3
,…(11分)
∴(
1+2k2
3
2<32k2+16,∴0<k2
47
2
,
又k≠0,∴-
94
2
<k<0
或o<k<
94
2

∴k的取值范圍是-
94
2
<k<0
或0<k<
94
2
.…(12分)
點評:本題考查橢圓的離心率的取值范圍的求法,考查橢圓方程的求法,考查直線斜率的取值范圍的求法,解題時要認真審題,注意函數(shù)與方程思想的合理運用.
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2
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