Question

10．已知函數(shù)f（x）=x（x-a）（x-b），點(diǎn)A（s，f（s）），B（t，f（t））．
（1）當(dāng)a=0，b=3，函數(shù)f（x）在（t，t+3）上取得極值，求實(shí)數(shù)t滿足的條件；
（2）若坐標(biāo)原點(diǎn)為O，0＜a＜b，a+b＜2$\sqrt{3}$，f（x）在x=s，x=t處取得極值，求證：直線OA、OB不可能垂直．

Answer 1

分析 （1）只要具體求出函數(shù)的極值點(diǎn)，讓兩個(gè)極值點(diǎn)在區(qū)間（t，t+3）即可；
（2）把s，t用a，b表示，在假設(shè)垂直的條件下即可得到a，b的關(guān)系式，根據(jù)不等式只要證明a+b≥2$\sqrt{3}$，即可根據(jù)反證法原理得到所證明的結(jié)論．

解答 （1）解：當(dāng)a=0，b=3時(shí)，f（x）=x³-3x²，f′（x）=3x²-6x，
令f′（x）=0得x=0，2，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可以得出函數(shù)f（x）在x=0處取得極大值，在x=2處取得極小值．
函數(shù)f（x）在（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，
則只要t＜0且t+3＞2即可，即只要-1＜t＜0即可．所以t的取值范圍是（-1，0）．
（2）證明：假設(shè)$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即（s，f（s））•（t，f（t））=st+f（s）f（t）=0，
故（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1，
即[st-（s+t）a+a²][st-（s+t）b+b²]=-1．
由于s，t是方程f'（x）=0的兩個(gè)根，
故s+t=$\frac{2}{3}$（a+b），st=$\frac{ab}{3}$，0＜a＜b．
代入上式得ab（a-b）²=9．
（a+b）²=（a-b）²+4ab=$\frac{9}{ab}$+4ab≥12，
即a+b≥2$\sqrt{3}$，與a+b＜2$\sqrt{3}$矛盾，
所以直線OA與直線OB不可能垂直．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值、單調(diào)性、最值等，考查反證法思想在解題中的應(yīng)用．本題的難點(diǎn)是第二問，其關(guān)鍵是在等式（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1中，通過配項(xiàng)可以使用韋達(dá)定理消掉s，t得到關(guān)于a，b的等式，本題這個(gè)地方的技巧是極高的．