Question

15．已知函數(shù)f（n）=log_（n+1）（n+2）（n∈N^*），定義使f（1）•f（2）•f（3）…f（k）為整數(shù)的數(shù)k（k∈N^*）叫做“企盼數(shù)”，則在區(qū)間[1，2015]上這樣的“企盼數(shù)”共有9個(gè)．

Answer 1

分析 由已知中函數(shù)f（n）=log_n+1（n+2）（n∈N*），由對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)易得f（1）•f（2）…f（k）=log₂（k+2），若其值為整數(shù)，則k+2=2ⁿ（n∈Z），結(jié)合k∈[1，2015]，我們易得到滿足條件的數(shù)的個(gè)數(shù)．

解答 解：∵函數(shù)f（n）=log_n+1（n+2）（n∈N*），
∴f（1）=log₂3，
f（2）=log₃4
…
f（k）=log_k+1（k+2），
∴f（1）•f（2）…f（k）=log₂3•log₃4…log_k+1（k+2）=log₂（k+2），
若f（1）•f（2）…f（k）為整數(shù)
則k+2=2ⁿ（n∈Z）
又∵k∈[1，2015]，
故k∈{2，6，14，30，62，126，254，510，1022}
故答案為：9

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，其中用換底公式求得（1）•f（2）…f（k）=log₂（k+2）是解答本題的關(guān)鍵，屬于難題．