Question

已知中心在坐標(biāo)原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓C過點Q（1，

3

2

），且點Q在x軸的射影恰為該橢圓的一個焦點F₁．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過橢圓C的一個焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則

|AB|

|FM|

是否為定值，若為定值，求出該定值，若不為定值，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由已知條件設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，把Q（1，

3

2

）代入，能求出橢圓C的方程．
（II）“過橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的一個焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則

|AB|

|FM|

為定值，且定值是4”．利用直線和橢圓的位置關(guān)系能夠進行證明．

解答： 解：（I）∵中心在坐標(biāo)原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓C過點Q（1，

3

2

），
且點Q在x軸的射影恰為該橢圓的一個焦點F₁，
∴設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，
把Q（1，

3

2

）代入，得：

1

a2

+

9 4

a2-1

=1，
整理，得4a⁴-17a²-4=0，
解得a²=4，或a2=

1

4

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（II）“過橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的一個焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交橢圓于A、B兩點，
線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則

|AB|

|FM|

為定值，且定值是4”…（5分）
證明如下：
由于l與x軸不垂直，可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）
①當(dāng)k≠0時，由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0．
依題意l與C有兩個交點A、B，所以△＞0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，y1+y2=k(x1+x2-2)=

-6k

3+4k2

，
所以線段AB的中點P的坐標(biāo)為(

4k2

3+4k2

，

-3k

3+4k2

)，…（7分）
AB的垂直平分線MP的方程為：y+

3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)．
令y=0，解得x=

k2

3+4k2

，即M(

k2

3+4k2

，0)，
所以|F1M|=

3(1+k2)

3+4k2

．…（9分）
又|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)(x1-x2)2

=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( 8k2 3+4k2 )2-4(- 4k2-12 3+4k2 )

=

12(1+k2)

3+4k2

，…（10分）
所以

|AB|

|F1M|

=4．…（11分）
②k=0時，易得結(jié)論成立．
綜上所述，結(jié)論成立．^…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩條線段長的比值是否為定值的判斷與證明，解題時要認真審題，注意待定系數(shù)法的合理運用．