Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，AP=BC=2，AB=3，CD=1，E、F、M分別是BC、PA、PD的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥面PCD；
（2）N是AB上一點(diǎn)，且MN⊥面PCD，求二面角M-PC-N的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間角

分析：（1）取PB中點(diǎn)G，連接GE，GF，由已知條件推導(dǎo)出GE∥PC，GF∥AB，從而得到GF∥CD，由此能證明EF∥面PCD．
（2）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC所在直線為x，y軸，以過(guò)B垂直于底面向上的方向?yàn)閦軸，建立直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角M-PC-N的余弦值．

解答： （本小題滿分12分）
（1）證明：取PB中點(diǎn)G，連接GE，GF，
∵E、F、M分別是BC、PA、PD的中點(diǎn)，
∴GE∥PC，GF∥AB，
∵AB∥CD，∴GF∥CD，又FG與GE交于點(diǎn)G，
∴面EFG∥面PCD，∴EF∥面PCD．…（6分）
（2）解：如圖以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC所在直線為x，y軸，
以過(guò)B垂直于底面向上的方向?yàn)閦軸，建立直角坐標(biāo)系，
由題意知P（3，0，2），C（0，2，0），D（1，2，0），M（2，1，1），…（6分）
設(shè)N（t，0，0），則

MN

=(t-2，-1，-1)，

CD

=(1，0，0)，
由MN⊥面PCD知：

MN

•

CD

=（t-2，-1，-1）•（1，0，0）=0，解得t=2，
面PCD的法向量為

MN

=(0，-1，-1)，…（9分）
設(shè)面NPC的法向量為

m

=(x，y，z)，
∵

PN

=(-1，0，-2)，

PC

=(-3，2，-2)，
∴

PN • m =0 PC • m =0

，即

(-1，0，-2)•(x，y，z)=-x-2z=0 (-3，2，-2)•(x，y，z)=-3x+2y-2z=0

，
令z=-1，則x=2，y=2，

m

=(2，2，-1)…（10分）
cos＜

m

，

MN

＞=

m • MN

| m |× |MN|

=

2-1

2 ×3

=

2

6

，
二面角M-PC-N的余弦值為

2

6

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．