Question

已知橢圓C：

x2

3

+

y2

b2

=1（0＜b＜

3

），其通徑（過焦點且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段）長

4 3

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過橢圓C右焦點的直線（不與X軸重合）與橢圓交于A，B兩點，且點M（

4

3

，0），判斷

MA

•

MB

能否為常數(shù)？若能，求出該常數(shù)，若不能，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）把x=c=

3-b2

代入橢圓C：

x2

3

+

y2

b2

=1，可得y=±

b2

3

．由題意可得

2b2

3

=

4 3

3

，解得b²，即可得出．
（2）當(dāng)直線與x軸垂直時，

MA

•

MB

=-

11

9

，當(dāng)直線與x軸不垂直時，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線的方程為：y=k（x-1），與橢圓方程聯(lián)立可得（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系及其數(shù)量積運算即可得出．

解答： 解：（1）把x=c=

3-b2

代入橢圓C：

x2

3

+

y2

b2

=1，可得y=±

b2

3

．
∴

2b2

3

=

4 3

3

，解得b²=2．
∴橢圓C的方程為：

x2

3

+

y2

2

=1． 
（2）當(dāng)直線與x軸垂直時，

MA

•

MB

=-

11

9

，
當(dāng)直線與x軸不垂直時，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線的方程為：y=k（x-1），
 代入

x2

3

+

y2

2

=1，
得（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0．
∴x1+x2=

6k2

2+3k2

，x1x2=

3k2-6

2+3k2

，
∴

MA

•

MB

=(x1-

4

3

，y1)•(x2-

4

3

，y2)=(x1-

4

3

)(x2-

4

3

)+y1y2
=x1x2-

4

3

(x1+x2)+

16

9

+k²（x₁-1）（x₂-1）
=（1+k²）x₁x₂-(

4

3

+k2)(x1+x2)+

16

9

+k² 
=(1+k2)

3k2-6

2+3k2

-(

4

3

+k2)

6k2

2+3k2

+

16

9

+k2=-

11

9

．
綜上可得：

MA

•

MB

為常數(shù)-

11

9

．

點評：本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．