Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．
（1）若f（1）＞0，求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集．
（2）已知f（1）=$\frac{3}{2}$，若存在x∈[1，+∞），使得a^2x+a^-2x-4mf（x）=0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，求出k得值，若f（1）＞0，求出a的取值范圍，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集．
（2）利用換元法，結(jié)合一元二次方程的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：因?yàn)閒（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以f（0）=0，
所以k-1=0，所以k=1．經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．
故f（x）=a^x-a^-x．-------------------------（1分）
（1）因?yàn)閒（1）＞0，所以$a-\frac{1}{a}$＞0，又a＞0且a≠1，所以a＞1，----------------（2分）
而當(dāng)a＞1時(shí)，y=a^x和y=-a^-x在R上均為增函數(shù)，所以f（x）在R上為增函數(shù)，--------------（3分）
原不等式化為：f（x²+2 x）＞f（4-x），
所以x²+2 x＞4-x，即x²+3 x-4＞0，----------------（4分）
所以x＞1或x＜-4，
所以不等式的解集為{ x|x＞1或x＜-4}．----------------（6分）
（2）法一：因?yàn)閒（1）=$\frac{3}{2}$，所以$a-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}$，即2a²-3a-2=0，
所以a=2或a=-$\frac{1}{2}$（舍去），----------------（7分）
a^2x+a^-2x-4mf（x）=2^2x+2^-2x-4m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-4m（2^x-2^-x）+2．----------------（8分）
令t=h（x）=2^x-2^-x（x≥1），
則t=h（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
所以h（x）≥h（1）=$\frac{3}{2}$，即t≥$\frac{3}{2}$．----------------（9分）
即方程t²-4mt+2=0在$[{\frac{3}{2}，+∞}）$有解，----------------（10分）
記g（t）=t²-4mt+2，
∵g（0）=2，故只需$\left\{\begin{array}{l}△≥0\\ g（\frac{3}{2}）≥0\\ 2m≥\frac{3}{2}.\end{array}\right.$或$g（\frac{3}{2}）≤0$，----------------（11分）
解得$m≥\frac{17}{24}$
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍$[{\frac{17}{24}，+∞}）$．----------------（12分）
法二：因?yàn)閒（1）=$\frac{3}{2}$，所以$a-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}$，即2a²-3a-2=0，
所以a=2或a=-$\frac{1}{2}$（舍去），----------------（7分）
a^2x+a^-2x-4mf（x）=2^2x+2^-2x-4m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-4m（2^x-2^-x）+2．----------------（8分）
令t=h（x）=2^x-2^-x（x≥1），
則t=h（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
所以h（x）≥h（1）=$\frac{3}{2}$，即t≥$\frac{3}{2}$．----------------（9分）
故存在x∈[1，+∞），使得a^2x+a^-2x-4mf（x）=0成立等價(jià)于方程t²-4mt+2=0在$[{\frac{3}{2}，+∞}）$有解，
等價(jià)于$\frac{{{t^2}+2}}{4t}=m$在$[{\frac{3}{2}，+∞}）$有解，----------------（10分）
記g（t）=$\frac{{{t^2}+2}}{4t}=\frac{1}{4}（t+\frac{2}{t}）$，因?yàn)楹瘮?shù)g（t）在$[{\sqrt{2}，+∞}）$上單調(diào)遞增，
故g（t）在$[{\frac{3}{2}，+∞}）$上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)$t=\frac{3}{2}$時(shí)，g（t）有最小值$\frac{17}{24}$，所以$g（t）≥\frac{17}{24}$，----------------（11分）
所以$m≥\frac{17}{24}$．----------------（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解決本題的關(guān)鍵．