Question

3．在某次數(shù)學(xué)摸底考試中，學(xué)生的成績X近似地服從正態(tài)分布N（100，σ²），P（X＞120）=a，P（80＜X＜100）=b，若直線l：ax+by+$\frac{1}{2}$=0與圓C：x²+y²=2相切，則直線l的方程為x+y+2=0．

Answer 1

分析 由正態(tài)分布的知識可得b=$\frac{1}{2}$-a．求出圓心到直線的距離d=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{2}$，從而得到a，b，即可求出直線l的方程．

解答 解：∵P（X＞120）=a，P（80＜X≤100）=b，P（X＞120）=$\frac{1-2P（80＜X≤100）}{2}$，
∴a=$\frac{1-2b}{2}$，即b=$\frac{1}{2}$-a①．
∵直線l：ax+by+$\frac{1}{2}$=0與圓C：x²+y²=2相切，
∴圓x²+y²=2的圓心（0，0）到直線ax+by+$\frac{1}{2}$=0的距離d=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{2}$②
由①②可得a=b=$\frac{1}{4}$，
∴直線l的方程為x+y+2=0
故答案為：x+y+2=0．

點(diǎn)評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，正態(tài)分布，屬于中檔題．