Question

13．設S_n為數列{a_n}的前項和，已知a₁≠0，2a_n-a₁=S₁•S_n，則數列{na_n}的前n項和為（n-1）×2ⁿ+1．n∈N⁺．

Answer 1

分析 利用遞推式與等比數列的通項公式可得a_n；利用“錯位相減法”、等比數列前n項和公式即可得出．

解答 解：∵a₁≠0，2a_n-a₁=S₁•S_n，n∈N^*．
令n=1得a₁=1，令n=2得a₂=2．
當n≥2時，由2a_n-1=S_n，2a_n-1-1=S_n-1，兩式相減得a_n=2a_n-1，
 又a₁≠0，則a_n≠0，
 于是數列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數列，
∴通項公式a_n=2^n-1；
∴na_n=n•2^n-1，
T_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1，
2T_n=2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
∴-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n×2ⁿ=（1-n）×2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ+1．n∈N⁺．
故答案是：（n-1）×2ⁿ+1．n∈N⁺．

點評 本題考查了“錯位相減法”與等比數列的通項公式及其前n項和公式、遞推式的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．