Question

已知F₁、F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段F₁F₂為邊作正△MF₁F₂，若邊MF₁的中點(diǎn)在雙曲線時(shí)，雙曲線的離心率e=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先判斷P在y軸上，設(shè)|F₁F₂|=2c，則M（0，

3

c），求出邊MF₁的中點(diǎn)，代入雙曲線方程，再由離心率公式和ab，c的關(guān)系，得到e的方程，注意e＞1，解得即可．

解答： 解：以線段F₁F₂為邊作正△MF₁F₂，則M在y軸上，
可設(shè)|F₁F₂|=2c，則M（0，

3

c），
又F₁（-c，0），則邊MF₁的中點(diǎn)為（-

c

2

，

3

2

c），
代入雙曲線方程，可得，

c2

4a2

-

3c2

4b2

=1，由于b²=c²-a²，e=

c

a

，
則有e²-

3e2

e2-1

=4，即有e⁴-8e²+4=0，
解得，e²=4±2

3

，由于e＞1，即有e=1+

3

．
故答案為：1+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．