Question

設(shè)拋物線y²=2x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)M（3，0）的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C，|BF|=

5

2

，則△BCF與△ACF的面積之比

S△BCF

S△ACF

=（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  2

  3

• C、

  3

  4

• D、

  4

  5

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用三角形面積公式，可把△BCF與△ACF的面積之比轉(zhuǎn)化為BC長(zhǎng)與AC長(zhǎng)的比，再根據(jù)拋物線的焦半徑公式轉(zhuǎn)化為A，B到準(zhǔn)線的距離之比，借助|BF|=

5

2

求出B點(diǎn)坐標(biāo)，得到AB方程，代入拋物線方程，解出A點(diǎn)坐標(biāo)，就可求出BN與AE的長(zhǎng)度之比，得到所需問(wèn)題的解．

解答： 解：∵拋物線方程為y²=2x，
∴焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

1

2

，0），準(zhǔn)線方程為x=-

1

2

，
如圖，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
過(guò)A，B分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為E，N，
則|BF|=x₂+

1

2

=2，
∴x₂=2，
把x₂=2代入拋物線y²=2x，得，y₂=-2，
∴直線AB過(guò)點(diǎn)M（3，0）與（2，-2）
方程為2x-y-6=0，代入拋物線方程，解得，x₁=

9

2

，
∴|AE|=

9

2

+

1

2

=5，
∵在△AEC中，BN∥AE，
∴

|BC|

|AC|

=

|BN|

|AE|

=

1

2

=

S△BCF

S△ACF

，
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的焦半徑公式，側(cè)重了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，以及計(jì)算能力．